Transformación Box-cox

Las transformaciones box-cox son del tipo potencial. Se utilizan en estadística para corregir sesgos en la distribución de errores, para corregir varianzas desiguales (para diferentes valores de la variable predictora) y principalmente para corregir la no linealidad en la relación (mejorar correlación entre las variables). Esta transformación recibe el nombre de los estadísticos George E. P. Box y David Cox.

Definición

La transformación potencial está definida como una función continua que varía con respecto a la potencia lambda (<math>\lambda</math>). Para los datos (Y₁,..., Y_n). se realiza la transformación <math>Y_i^'=Y_i^\lambda</math> de la siguiente manera:<ref>Neter, J. et al. (1996) Applied Linear Statistical Models. McGrawHill</ref>

<math>Y_i^{(\lambda)}= \begin{cases} K_1*(Y_i^\lambda - 1) & \mathrm{si}\ \lambda\neq 0, \\ \\ K_2*ln(Y_i) & \mathrm{si}\ \lambda=0\end{cases}</math>

K₂ es la media geométrica<ref>http://mathworld.wolfram.com/GeometricMean.html</ref> de los valores Y₁, ..., Y_n.

<math>K_2=\bigg(\prod_{i=1}^n Y_i \bigg)^{1/n} =(Y_1*Y_2* ... *Y_n)^{1/n}</math>

y K₁ es un parámetro que depende de K₂ y de <math>\lambda</math>, así:

<math>K_1= \dfrac{1}{\lambda *K_2^{\lambda - 1}} </math>

Procedimiento para la transformación

Para llevar a cabo una transformación potencial, dado un valor de lambda <math>\lambda</math>, se calcula primero la media geométrica de los valores Y₁ (K₂). Después se sustituye este valor para calcular el parámetro K₁.

Procedimiento para la selección del mejor valor de <math>\lambda</math>

Primero se deben seleccionar el rango de valores de lambda <math>\lambda</math> de los cuales se quiere seleccionar el que logra que la transformación se acerque al máximo a los datos. Para cada valor de <math>\lambda</math> se realiza la transformación del paso anterior. Finalmente se sustituyen los valores de la o las variables explicativas en las diferentes funciones y se calculan los cuadrados de los residuales estadísticos. Aquella que tenga el menor valor de la suma de residuales será la mejor opción. Note que K₂ es un valor fijo para todos los casos y que sólo hay que calcular de nuevo el valor K₁.

Referencias

<references group=""></references>