Anualidades contingentes

El concepto de anualidad contingente, en un sentido matemático, corresponde a una función que consiste en el valor presente de una unidad monetaria (constante o variable), pagadera en periodos regulares durante determinado plazo y sólo si durante dicho plazo se cumple la condición de supervivencia. Es por ello que la anualidad es la suma de valores presentes de una unidad ponderada con la probabilidad de supervivencia de personas o con la probabilidad de que una condición contingente se cumpla.

El tipo de anualidades que existe es muy amplio, aunque algunas son poco factibles de aplicar en la práctica tienen un sentido teórico. Las anulidades se clasifican en el ámbito actuarial según las siguientes características:

Discreta: cuando la obligación se paga en periodos regulares finitos.

Anual: cuando el periodo de pago es de un año.

Fraccionaria: cuando el pago se hace en periodos inferiores a un año.

Continua: cuando el pago de la obligación contingente es proporcional al tiempo transcurrido.

Constante: cuando el monto del pago no varía en el tiempo.

Variable Aritméticamente: cuando el monto del pago se incrementa en un monto constante anual.

Variable Geométricamente: cuando el monto se incrementa en un porcentaje del pago anterior.

No indexadas: cuando el monto del pago está definido en pesos.

Indexadas: cuando el monto del pago está nominado en otra moneda o en indices inflacionarios.

Anticipada: cuando los pagos se hacen al inicio de cada periodo.

Vencida: cuando los pagos se hacen al final de cada periodo.

Inmediata: cuando los pagos darán inicio en el presente.

Diferida: cuando los pagos darán inicio en el futuro.

Temporal: cuando los pagos durarán un periodo finito definido.

Vitalicia: cuando los pagos durarán indefinidamente mientras viva la persona.

Explicación Actuarial

Si <math>l_x</math> es el número de personas que recibirán simultáneamente una renta vitalicia vencida (al final del año), entonces el valor presente de las obligaciones de ese pago que se hará a cada uno de los que estén con vida a cada años será:

<math>vl_{x+1}\,+\, v^2l_{x+2}\,+\, v^3l_{x+3}\,+\,\cdots</math>

Donde <math>v^x=\frac{1}{(1+i)^x}</math> Es decir el valor presente de una unidad monetaria traida al presente x periodos de tiempo a una cierta tasa de interés <math>i</math>.

Si dividimos el valor presente de esas obligaciones entre el número de personas que se encuentran con vida al inicio del tiempo, se llega a que:

<math>a_x\, = \, \frac{vl_{x+1}\,+\,v^2l_{x+2}\,+\,v^3l_{x+3}\,+\,\cdots}{l_x} </math>

Esto es equivalente a;

<math>a_x\, = \, vp_{x+1}\,+\,v^2p_{x+2}\,+\,v^3p_{x+3}\,+\,\cdots </math>

Es decir la anualidad es el valor presente de un peso ponderado por la probilidad de que una persona de edad <math>x</math>, se encuentre con vida.

Este mismo razonamiento es el que se sigue para establecer la fórmula de los otros tipos de anualidades contingentes.