Distribución de Pareto

De wikiRiesgos
Revisión del 18:31 19 may 2014 de Csanta (discusión | contribuciones)
(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)
Ir a la navegación Ir a la búsqueda
{{#if:Pareto|{{#if:Pareto||{{#if:|{{#if:|}}}} }}{{#if:|{{#if:||{{#if:{{{subtitulo}}}|{{#if:|}}}} }}{{#if:|{{#if:||{{#if:{{{subtitulo2}}}|{{#if:|}}}} }}{{#if:|}}{{#if:|}}{{#if:|}}{{#if:||{{#if:{{#if:|{{{imagen_fp}}}
Función de probabilidad}}|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:{{#if:Pareto probability density functions for various α
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.|Pareto probability density functions for various α
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.
Función de densidad de probabilidad}}|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:{{#if:Pareto cumulative distribution functions for various α
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp.|Pareto cumulative distribution functions for various α
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp.
Función de distribución de probabilidad}}|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:<math>x_\mathrm{m}>0\,</math> escala (real)
<math>\alpha>0\,</math> forma (real)|{{#if:Parámetros|}}}}{{#if:||{{#if:<math>x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!</math>|{{#if:Dominio|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Función de probabilidad (fp)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1} }\text{ for }x>x_m\!</math>|{{#if:Función de densidad (pdf)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m} }{x}\right)^\alpha \!</math>|{{#if:Función de distribución (cdf)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m} }{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,</math>|{{#if:Media|}}}}{{#if:||{{#if:<math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>|{{#if:Mediana|}}}}{{#if:||{{#if:<math>x_\mathrm{m}\,</math>|{{#if:Moda|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,</math>|{{#if:Varianza|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha} }\text{ for }\alpha>3\,</math>|{{#if:Coeficiente de simetría|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,</math>|{{#if:Curtosis|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m} }\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!</math>|{{#if:Entropía|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,</math>|{{#if:Función generadora de momentos (mgf)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,</math>|{{#if:Función característica|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:|}}{{#if:|}}
Pareto
{{{etiqueta}}}|}} {{{datos}}}
{{{seccion}}}
{{{etiqueta}}}|}} {{{subtitulo}}}
{{{seccion}}}
{{{etiqueta}}}|}} {{{subtitulo2}}}
{{#if:|}} {{#if:|}}
[[Archivo:{{{imagenizquierda}}}|{{#if:|{{{tamañoimagenizquierda}}}|100px}}]]{{#if:|
{{{pieizquierdo}}}}}
[[Archivo:{{{imagenderecha}}}|{{#if:|{{{tamañoimagenderecha}}}|100px}}]]{{#if:|
{{{piederecho}}}}}
[[Archivo:{{{imagen}}}|{{#if:|{{{tamañoimagen}}}|220px}}]]{{#if:|
{{{pie}}}}}
[[Archivo:{{{imagen2}}}|{{#if:|{{{tamañoimagen2}}}|220px}}]]{{#if:|
{{{pie2}}}}}
|}} {{#if:|{{{imagen_fp}}}
Función de probabilidad}}
|}} {{#if:Pareto probability density functions for various α
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.|Pareto probability density functions for various α
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.
Función de densidad de probabilidad}}
|}} {{#if:Pareto cumulative distribution functions for various α
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp.|Pareto cumulative distribution functions for various α
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp.
Función de distribución de probabilidad}}
Parámetros|}} <math>x_\mathrm{m}>0\,</math> escala (real)
<math>\alpha>0\,</math> forma (real)
Dominio|}} <math>x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!</math>
Función de probabilidad (fp)|}}
Función de densidad (pdf)|}} <math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1} }\text{ for }x>x_m\!</math>
Función de distribución (cdf)|}} <math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m} }{x}\right)^\alpha \!</math>
Media|}} <math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m} }{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,</math>
Mediana|}} <math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>
Moda|}} <math>x_\mathrm{m}\,</math>
Varianza|}} <math>\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,</math>
Coeficiente de simetría|}} <math>\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha} }\text{ for }\alpha>3\,</math>
Curtosis|}} <math>\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,</math>
Entropía|}} <math>\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m} }\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!</math>
Función generadora de momentos (mgf)|}} <math>\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,</math>
Función característica|}} <math>\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,</math>
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
[[Archivo:{{{imageninferior}}}|{{#if:|{{{tamañoimageninferior}}}|220px}}]]{{#if:|
{{{pieinferior}}}}}
{{{piedetabla}}}

En estadística la distribución Pareto, formulada por el sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía<ref>{{

 #if:Guerriero, V. (2012)
 |{{
    #if: 
    |{{
       #iferror: {{ #expr: 1* }}
       |
       |{{#ifexpr:>000|—}}{{#ifexpr:>001|—}}{{#ifexpr:>002|—}}{{#ifexpr:>003|—}}{{#ifexpr:>004|—}}{{#ifexpr:>005|—}}{{#ifexpr:>006|—}}{{#ifexpr:>007|—}}{{#ifexpr:>008|—}}{{#ifexpr:>009|—}}{{#ifexpr:>010|—}}{{#ifexpr:>011|—}}{{#ifexpr:>012|—}}{{#ifexpr:>013|—}}{{#ifexpr:>014|—}}{{#ifexpr:>015|—}}{{#ifexpr:>016|—}}{{#ifexpr:>017|—}}{{#ifexpr:>018|—}}{{#ifexpr:>019|—}}{{#ifexpr:>020|—}}{{#ifexpr:>021|—}}{{#ifexpr:>022|—}}{{#ifexpr:>023|—}}{{#ifexpr:>024|—}}{{#ifexpr:>025|—}}{{#ifexpr:>026|—}}{{#ifexpr:>027|—}}{{#ifexpr:>028|—}}{{#ifexpr:>029|—}}{{#ifexpr:>030|—}}{{#ifexpr:>031|—}}{{#ifexpr:>032|—}}{{#ifexpr:>033|—}}{{#ifexpr:>034|—}}{{#ifexpr:>035|—}}{{#ifexpr:>036|—}}{{#ifexpr:>037|—}}{{#ifexpr:>038|—}}{{#ifexpr:>039|—}}{{#ifexpr:>040|—}}{{#ifexpr:>041|—}}{{#ifexpr:>042|—}}{{#ifexpr:>043|—}}{{#ifexpr:>044|—}}{{#ifexpr:>045|—}}{{#ifexpr:>046|—}}{{#ifexpr:>047|—}}{{#ifexpr:>048|—}}{{#ifexpr:>049|—}}{{#ifexpr:>050|—}}{{#ifexpr:>051|—}}{{#ifexpr:>052|—}}{{#ifexpr:>053|—}}{{#ifexpr:>054|—}}{{#ifexpr:>055|—}}{{#ifexpr:>056|—}}{{#ifexpr:>057|—}}{{#ifexpr:>058|—}}{{#ifexpr:>059|—}}{{#ifexpr:>060|—}}{{#ifexpr:>061|—}}{{#ifexpr:>062|—}}{{#ifexpr:>063|—}}{{#ifexpr:>064|—}}{{#ifexpr:>065|—}}{{#ifexpr:>066|—}}{{#ifexpr:>067|—}}{{#ifexpr:>068|—}}{{#ifexpr:>069|—}}{{#ifexpr:>070|—}}{{#ifexpr:>071|—}}{{#ifexpr:>072|—}}{{#ifexpr:>073|—}}{{#ifexpr:>074|—}}{{#ifexpr:>075|—}}{{#ifexpr:>076|—}}{{#ifexpr:>077|—}}{{#ifexpr:>078|—}}{{#ifexpr:>079|—}}{{#ifexpr:>080|—}}{{#ifexpr:>081|—}}{{#ifexpr:>082|—}}{{#ifexpr:>083|—}}{{#ifexpr:>084|—}}{{#ifexpr:>085|—}}{{#ifexpr:>086|—}}{{#ifexpr:>087|—}}{{#ifexpr:>088|—}}{{#ifexpr:>089|—}}{{#ifexpr:>090|—}}{{#ifexpr:>091|—}}{{#ifexpr:>092|—}}{{#ifexpr:>093|—}}{{#ifexpr:>094|—}}{{#ifexpr:>095|—}}{{#ifexpr:>096|—}}{{#ifexpr:>097|—}}{{#ifexpr:>098|—}}{{#ifexpr:>099|—}}{{#ifexpr:>100|—}}{{#ifexpr:>101|—}}{{#ifexpr:>102|—}}{{#ifexpr:>103|—}}{{#ifexpr:>104|—}}{{#ifexpr:>105|—}}{{#ifexpr:>106|—}}{{#ifexpr:>107|—}}{{#ifexpr:>108|—}}{{#ifexpr:>109|—}}{{#ifexpr:>110|—}}{{#ifexpr:>111|—}}{{#ifexpr:>112|—}}{{#ifexpr:>113|—}}{{#ifexpr:>114|—}}{{#ifexpr:>115|—}}{{#ifexpr:>116|—}}{{#ifexpr:>117|—}}{{#ifexpr:>118|—}}{{#ifexpr:>119|—}}{{#ifexpr:>120|—}}{{#ifexpr:>121|—}}{{#ifexpr:>122|—}}{{#ifexpr:>123|—}}{{#ifexpr:>124|—}}{{#ifexpr:>125|—}}{{#ifexpr:>126|—}}{{#ifexpr:>127|—}}{{#ifexpr:>128|—}}{{#ifexpr:>129|—}}{{#ifexpr:>130|—}}{{#ifexpr:>131|—}}{{#ifexpr:>132|—}}{{#ifexpr:>133|—}}{{#ifexpr:>134|—}}{{#ifexpr:>135|—}}{{#ifexpr:>136|—}}{{#ifexpr:>137|—}}{{#ifexpr:>138|—}}{{#ifexpr:>139|—}}{{#ifexpr:>140|—}}{{#ifexpr:>141|—}}{{#ifexpr:>142|—}}{{#ifexpr:>143|—}}{{#ifexpr:>144|—}}{{#ifexpr:>145|—}}{{#ifexpr:>146|—}}{{#ifexpr:>147|—}}{{#ifexpr:>148|—}}{{#ifexpr:>149|—}}
     }}
    |{{
       #if: 
       |[[ |Guerriero, V. (2012){{
         #if: 
         |, 
        }}]]
       |Guerriero, V. (2012){{
          #if: 
          |, 
        }}
     }}
  }}{{
    #if: 
    |{{#ifexpr:8<2
      | et ál.
      |{{
         #iferror: {{ #expr: 1*0.0 }}
         | 
         |{{
           #if: 
           |{{#ifeq:|;|;|;}} 
           |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
         }}
       }}{{
         #if: 
         |[[ |{{
            #if: 
            |, 
          }}]]
         |{{
            #if: 
            |, 
          }}
       }}{{
         #if: 
         |{{#ifexpr:8<3
           | et ál.
           |{{
              #if: 
              |{{#ifeq:|;|;|;}} 
              |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
            }}{{
              #if: 
              |[[ |{{
                 #if: 
                 |, 
               }}]]
              |{{
                 #if: 
                 |, 
               }}
            }}{{
              #if:
              |{{#ifexpr:8<4
                | et ál.
                |{{
                   #if: 
                   |{{#ifeq:|;|;|;}} 
                   |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
                 }}{{
                   #if: 
                   |[[ |{{
                      #if: 
                      |, 
                    }}]]
                   |{{
                      #if: 
                      |, 
                   }}
                 }}{{
                 #if:
                 |{{#ifexpr:8<5
                   | et ál.
                   |{{
                    #if: 
                    |{{#ifeq:|;|;|;}} 
                    |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
                   }}{{
                    #if: 
                    |[[ |{{
                       #if: 
                       |, 
                     }}]]
                    |{{
                       #if: 
                       |, 
                     }}
                  }}{{
                    #if:
                    |{{#ifexpr:8<6
                    | et ál.
                     |{{
                       #if: 
                       |{{#ifeq:|;|;|;}} 
                       |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
                     }}{{
                       #if: 
                       |[[ |{{
                          #if: 
                          |, 
                        }}]]
                       |{{
                          #if: 
                          |, 
                        }}
                     }}{{
                       #if:
                        |{{#ifexpr:8<7
                          | et ál.
                       |{{
                          #if: 
                          |{{#ifeq:|;|;|;}} 
                          |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
                        }}{{
                          #if: 
                          |[[ |{{
                             #if: 
                             |, 
                           }}]]
                          |{{
                             #if: 
                             |, 
                           }}
                                   }}{{
                                      #if:
                                      |{{#ifexpr:8<8
                                          | et ál.
                                          |{{
                                             #if: 
                                             |{{#ifeq:|;|;|;}} 
                                             |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
                                           }}{{
                                             #if: 
                                             |[[ |{{
                                                #if: 
                                                |, 
                                              }}]]
                                             |{{
                                                #if: 
                                                |, 
                                              }}
                                           }}{{
                                             #if:
                                             | et ál.
                                           }}
                                        }}
                                     }}
                                  }}
                               }}
                            }}
                         }}
                      }}
                    }}
                 }}
              }}
           }}
        }}
     }}
  }}{{
    #if: {{#if:|{{{date}}}|  }}
    | ({{#if:|{{{date}}}|  }}){{
      #if:
    | [{{{YearNote}}}]
    }}
  }}
 |{{
    #if: 
    |{{
       #if: 
       |[[ |{{
          #if: 
          |, 
        }}]]
       |{{
          #if: 
          |, 
        }}
     }}{{
       #if: 
       |{{
         #if: 
         |{{#ifeq:|;|;|;}} 
         |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
       }}{{
          #if: 
          |[[ |{{
             #if: 
             |, 
           }}]]
          |{{
             #if: 
             |, 
           }}
        }}{{
          #if: 
          |{{
             #if: 
             |{{#ifeq:|;|;|;}} 
             |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
           }}{{
             #if: 
             |[[ |{{
                #if: 
                |, 
              }}]]
             |{{
                #if: 
                |, 
              }}
           }}{{
             #if:
             | et ál.
           }}
        }}
      }}, ed{{#if:|s}}{{#ifeq:{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}|.||.}}{{
       #if: {{#if:|{{{date}}}|  }}
       | ({{#if:|{{{date}}}|  }}){{
        #if:
      | [{{{YearNote}}}]
      }}
     }}
  }}

}}{{

 #if: 
  {{
    #if:Journal of Modern Mathematics Frontier||{{#if:||}}
  }}
 |{{
    #if:Guerriero, V. (2012)
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
  }}{{#if:Journal of Modern Mathematics Frontier||«}}{{#if:{{
          #if: 
          |
          |{{
             #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
             |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
             |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }}
               |{{
                  #if: 
                  |http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                }}
              }}
           }}
        }}
|[{{
          #if: 
          |
          |{{
             #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
             |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
             |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }}
               |{{
                  #if: 
                  |http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                }}
              }}
           }}
        }} {{
          #if: Journal of Modern Mathematics Frontier
          |
          |{{
       #if: 
       |{{#if: | }}[]}}
        }}]
|{{
          #if: Journal of Modern Mathematics Frontier
          |
          |{{
       #if: 
       |{{#if: | }}[]}}
        }}

}}{{#if:Journal of Modern Mathematics Frontier||»}} }}{{

 #if: 
 |{{
    #ifeq:  | 
    |
    |{{
       #if: Guerriero, V. (2012)
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} escrito en 
     }}
  }}

}}{{

 #if: 
 |{{
    #if: Guerriero, V. (2012)
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{
       #if: 
       |{{#ifeq: {{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}|.|E|e}}n 
     }}{{
       #if: 
       |[[ |{{
          #if: 
          |, 
        }}]]
       |{{
          #if: 
          |, 
        }}}}{{
       #if: 
       |{{
         #if: 
           |{{#ifeq:|;|;|;}} 
           |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
         }}{{
          #if: 
          |[[|{{
             #if: 
             |, 
           }}]]
          |{{
             #if: 
             |, 
           }}
        }}{{
          #if: 
          |{{
             #if: 
             |; 
             |{{#if:| & |{{#ifeq:|;|;|;}} }}
           }}{{
             #if: 
             |[[|{{
                #if: 
                |, 
              }}]]
             |{{
                #if: 
                |, 
              }}
           }}{{
             #if:
             | et ál.
           }}
        }}
     }}{{
       #if: 
       |
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} ed{{#if:|s}}{{#ifeq:{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}|.||.}}
     }}
  }}

}}{{

 #if: Journal of Modern Mathematics Frontier
 |{{
    #if: 
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
  }}{{
    #if: Guerriero, V. (2012)
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} }}{{
    #if: Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics
    |«{{#if:{{
             #if: 
             |{{
                #if: 
                |{{
                   #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |{{
                      #ifexpr: {{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }} | {{
                        #if: 
                        |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                      }}
                    }}
                 }}
              }}
             |{{
                #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }} |{{
                      #if: 
                      |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                   }}
                }}
              }}
           }}
|[{{
             #if: 
             |{{
                #if: 
                |{{
                   #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |{{
                      #ifexpr: {{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }} | {{
                        #if: 
                        |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                      }}
                    }}
                 }}
              }}
             |{{
                #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }} |{{
                      #if: 
                      |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                   }}
                }}
              }}
           }} Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics{{
       #if: 
       |{{#if: Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics| }}[]}}]
|Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics{{
       #if: 
       |{{#if: Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics| }}[]}}

}}»{{

       #if: 
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{{TitleNote}}}
     }}
  }}

}}{{ #if:

     | (en {{
        #if: 
           |, )
           |)
      }}
     |{{ #if: 
            | ()
      }}

}}{{

  #if: Journal of Modern Mathematics Frontier|{{
      #if:Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics|{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} }}Journal of Modern Mathematics Frontier{{
    #if: 
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
  }}{{
    #if: 
    |{{
       #if: 
       | (: )
       | ()
     }}
    |{{
       #if: 
       | ()
     }}
  }}{{
    #if: 
    | {{
       #if: 
       | ()
     }}
    |{{
       #if: 
       | ()
     }}
  }}{{
    #if: {{
         #if:  | {{#if:||p. }}
       }}{{
         #if:  | {{#if:||pp. }}
       }}
    |:  {{
         #if:  | {{#if:||p. }}
       }}{{
         #if:  | {{#if:||pp. }}
       }}
  }}
 |{{
    #if: Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics
    |{{
       #if: Guerriero, V. (2012)Journal of Modern Mathematics Frontier
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} | 
     }}{{#if:{{
             #if: 
             |{{
                #if: 
                |{{
                   #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }}|{{
                      #if: 
                      |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                    }}}}
                 }}
              }}
             |{{
                #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                              |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }}|{{
                   #if: 
                   |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                 }}}}
              }}
           }}
|[{{
             #if: 
             |{{
                #if: 
                |{{
                   #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                   |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }}|{{
                      #if: 
                      |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                    }}}}
                 }}
              }}
             |{{
                #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                              |{{#ifexpr:{{#time: U}} > {{#time: U | 1010-10-10 }}|{{
                   #if: 
                   |  http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=
                 }}}}
              }}
           }} Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics{{
       #if:| [{{{TransItalic}}}]
     }}]
|Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics{{
       #if:| [{{{TransItalic}}}]
     }}

}}}}{{#if: | ({{{TipoTítulo}}})}}{{

       #if: 
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
     }}{{
       #if: 
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
     }}{{
       #if: 
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
     }}{{
       #if: 
       | ({{#if:|| edición}})
     }}{{
       #if: 
       |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
     }}{{
       #if: 
       |{{
          #if: 
          |:
          |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}
        }} 
     }}
  }}{{
 #if: Guerriero, V. (2012)
 |
 |{{
    #if: {{#if:|{{{date}}}|  }}
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{#if:|{{{date}}}|  }}{{
      #if:
    | [{{{YearNote}}}]
    }}
  }}

}}{{

 #if: 
 |{{
    #ifeq:  | {{#if:|{{{date}}}|  }}
    |
    |{{
       #if: 
       |{{
          #if: Guerriero, V. (2012)
          |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
          | (publicado el )
        }}
       |{{
          #if: Journal of Modern Mathematics Frontier
          |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
          | (publicado el )
        }}
     }}
  }}

}}{{

 #if: Journal of Modern Mathematics Frontier
 |
 |{{
    #if: {{
         #if:  | {{#if:||p. }}
       }}{{
         #if:  | {{#if:||pp. }}
       }}
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{
         #if:  | {{#if:||p. }}
       }}{{
         #if:  | {{#if:||pp. }}
       }}
  }}

}}{{

  1. if:
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} doi:{{#if: 
    |  (inactivo desde )
    | 
   }}

}}{{

 #if: 
 |{{
    #if: Guerriero, V. (2012)Journal of Modern Mathematics FrontierPower Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} 
    |
  }}

}}{{

 #if: 
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} ISBN [[Especial:FuentesDeLibros/|]]

}}{{

 #if: 
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} ISSN [1]

}}{{

 #if: 
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} OCLC [2]

}}{{

 #if: 
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} PMID [3]

}}{{

 #if: 
 |{{#if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} PMC [4]
  }}

}}{{

 #if: 
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} Bibcode[5]

}}{{

  1. if:

|{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|. }} {{{Archive}}} |{{

 #if:
 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{#ifeq:{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}|.|A|a}}rchivado{{
   #if:http://www.sjmmf.org/Default.aspx
   |{{#if:| del {{#if:http://www.sjmmf.org/Default.aspx
|original
|original

}}}}

   }}{{
   #if:
   | el 
   }}{{
   #if:{{#if:||A}}{{#if:http://www.sjmmf.org/Default.aspx%7C%7CB}}{{#if:%7C%7CC}}
   |. Plantilla:Citation error
   }}
 }}

}}{{

 #if: http://www.sjmmf.org/Default.aspx
 |{{
    #if: Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics{{{TítuloTradTransTitle}}}
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{
                                     #if: 
                                     |
                                     |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
                                   }}
    |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} {{
             #if: 
             |
             |http://www.sjmmf.org/Default.aspx
           }}
  }}{{
    #if: {{#ifeq: |sí| (requiere suscripción)}}
    | {{#ifeq:{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}|,|, c|. C}}onsultado {{#if:{{#ifeq: |sí| (requiere suscripción)}}|el {{#ifeq: |sí| (requiere suscripción)}}|en {{#if: | de |}}}}
    }}

}}{{#if:

 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }} [ Resumen divulgativo]{{#if: | – }}

}}{{#if:

 |  ()

}}{{#if:

 |{{#ifeq:{{{seperator}}} |;|;|.  }}  «»

}}{{

 #if:| |}}. </ref>. En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Probabilidad acumulada

Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:

<math>Pr(X>x) = \begin{cases}

\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\ 1 & \text{si } x < x_\mathrm{m}. \end{cases} </math>

donde xm es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, xm y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.

Función de densidad

A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:

<math>

f_X(x)= \begin{cases}

\alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m},
\\[12pt] 0                                         & \text{si } x < x_\mathrm{m}. 

\end{cases} </math>

Propiedades

<math>E(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,</math>
(if α ≤ 1, the expected value does not exist).
<math>\mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.</math>
(Si α ≤ 2, la varianza no existe).
<math>\mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,</math>
pero el n-ésimo momento existe sólo para n < α.
<math>M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = E(e^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,</math>

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

<math>\lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \, </math>

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:<ref>{{

  1. if: {{#if: http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf%7C{{#if:Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|Error: no se ha especificado |título= al usar {{[[{{#switch:
         |   = Plantilla:cita web|cita web
         | Plantilla = cita web|Cita web
         | #default  = cita web
       }}]]{{#if:||{{{2}}}}}{{#if:||{{{3}}}}}{{#if:||{{{4}}}}}{{#if:||{{{5}}}}}{{#if:||{{{6}}}}}{{#if:||{{{7}}}}}{{#if:||{{{8}}}}}{{#if:||{{{9}}}}}}}}}|Error: no se ha especificado |url= al usar {{[[{{#switch: 
         |   = Plantilla:cita web|cita web
         | Plantilla = cita web|Cita web
         | #default  = cita web
       }}]]{{#if:||{{{2}}}}}{{#if:||{{{3}}}}}{{#if:||{{{4}}}}}{{#if:||{{{5}}}}}{{#if:||{{{6}}}}}{{#if:||{{{7}}}}}{{#if:||{{{8}}}}}{{#if:||{{{9}}}}}}}}}

}}{{

  1. if:
 | {{#if: {{#if: | {{#if:  |1}}}}
   ||Debes especificar urlarchivo =  y fechaarchivo =  al usar {{[[{{#switch: 
         |   = Plantilla:cita web|cita web
         | Plantilla = cita web|Cita web
         | #default  = cita web
       }}]]{{#if:||{{{2}}}}}{{#if:||{{{3}}}}}{{#if:||{{{4}}}}}{{#if:||{{{5}}}}}{{#if:||{{{6}}}}}{{#if:||{{{7}}}}}{{#if:||{{{8}}}}}{{#if:||{{{9}}}}}}}.

}} }}{{#if:

 | {{#if: 
   | [[|{{#if: 
     | {{#if:  | ,  }}
     | 
   }}]]
   | {{#if: 
     | {{#if:  | ,  }}
     | 
   }}
 }}

}}{{#if:

 | {{#if: | ;  }}

}}{{#if: |

   {{#if: 
   |  ()
   | {{#if: 
     | {{#if: 
       |  ( de )
       |  ()
     }}
   }}
 |}}

}}{{#if:

 | . }}{{
 #if: 
 |  {{{editor}}} (ed.): 

}}{{#if:

  | {{#if:  | {{#if: Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation | «[ Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation]»{{#if:  |  (en )}}}}}}
  | {{#if: http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf | {{#if: Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation | {{#if:  | {{#if:Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|«Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation»|http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf}} (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial y la última versión).{{#switch:  | |WikiRiesgos| =}} | «Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation» }}{{#if:  |  (en )

}}{{#if: |, [{{{urltrad}}} traducción al español]}} }}}} }}{{#if: | () }}{{#if:

 | . '

}}{{#if:

 |  pág. {{{página}}}

}}{{#if: 7-8

 |  págs. 7-8

}}{{#if:

 | .  {{#if: 
   | : 
 }} {{#if: 
   | 
   | {{#if:  || }}
 }}

}}{{#if:

 ||{{#if: 
   |  ()
   | {{#if: 
     | {{#if: 
       |  ( de )
       |  ()
     }}
   }}
 }}

}}.{{#if:

 |  Archivado desde el original el .

}}{{#if:

 |  doi:{{{doi}}}.

}}{{#if:

 |  Consultado el {{#if:  | de  }}{{#ifeq: |sí| (requiere suscripción)}}.

}}{{#if:

 |  «».

}}</ref>

<math>f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}

(\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1} & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\ 0 & \text{resto}. \end{cases} </math>

Distribución Generalizada de Pareto

{{#if:Pareto Generalizado|{{#if:Pareto Generalizado||{{#if:|{{#if:|}}}} }}{{#if:|{{#if:||{{#if:{{{subtitulo}}}|{{#if:|}}}} }}{{#if:|{{#if:||{{#if:{{{subtitulo2}}}|{{#if:|}}}} }}{{#if:|}}{{#if:|}}{{#if:|}}{{#if:||{{#if:{{#if:|{{{imagen_fp}}}
Función de probabilidad}}|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:{{#if:|
Función de densidad de probabilidad}}|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:{{#if:|
Función de distribución de probabilidad}}|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\mu \in (-\infty,\infty) \,</math> localización (real)
<math>\sigma \in (0,\infty) \,</math> escala (real)
<math>\xi\in (-\infty,\infty) \,</math> forma (real)|{{#if:Parámetros|}}}}{{#if:||{{#if:<math>x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)</math>
<math>\mu \leqslant x \leqslant \mu-\sigma/\xi\,\;(\xi < 0)</math>|{{#if:Dominio|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Función de probabilidad (fp)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)} </math>
where <math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math>|{{#if:Función de densidad (pdf)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,</math>|{{#if:Función de distribución (cdf)|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi < 1) </math>|{{#if:Media|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi} </math>|{{#if:Mediana|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Moda|}}}}{{#if:||{{#if:<math>\frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi < 1/2) </math>|{{#if:Varianza|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Coeficiente de simetría|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Curtosis|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Entropía|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Función generadora de momentos (mgf)|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:Función característica|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:||{{#if:|{{#if:|}}}}{{#if:|}}{{#if:|}}
Pareto Generalizado
{{{etiqueta}}}|}} {{{datos}}}
{{{seccion}}}
{{{etiqueta}}}|}} {{{subtitulo}}}
{{{seccion}}}
{{{etiqueta}}}|}} {{{subtitulo2}}}
{{#if:|}} {{#if:|}}
[[Archivo:{{{imagenizquierda}}}|{{#if:|{{{tamañoimagenizquierda}}}|100px}}]]{{#if:|
{{{pieizquierdo}}}}}
[[Archivo:{{{imagenderecha}}}|{{#if:|{{{tamañoimagenderecha}}}|100px}}]]{{#if:|
{{{piederecho}}}}}
[[Archivo:{{{imagen}}}|{{#if:|{{{tamañoimagen}}}|220px}}]]{{#if:|
{{{pie}}}}}
[[Archivo:{{{imagen2}}}|{{#if:|{{{tamañoimagen2}}}|220px}}]]{{#if:|
{{{pie2}}}}}
|}} {{#if:|{{{imagen_fp}}}
Función de probabilidad}}
|}} {{#if:|
Función de densidad de probabilidad}}
|}} {{#if:|
Función de distribución de probabilidad}}
Parámetros|}}

<math>\mu \in (-\infty,\infty) \,</math> localización (real)
<math>\sigma \in (0,\infty) \,</math> escala (real)

<math>\xi\in (-\infty,\infty) \,</math> forma (real)
Dominio|}}

<math>x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)</math>

<math>\mu \leqslant x \leqslant \mu-\sigma/\xi\,\;(\xi < 0)</math>
Función de probabilidad (fp)|}}
Función de densidad (pdf)|}}

<math>\frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)} </math>

where <math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math>
Función de distribución (cdf)|}} <math>1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,</math>
Media|}} <math>\mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi < 1) </math>
Mediana|}} <math>\mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi} </math>
Moda|}}
Varianza|}} <math>\frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi < 1/2) </math>
Coeficiente de simetría|}}
Curtosis|}}
Entropía|}}
Función generadora de momentos (mgf)|}}
Función característica|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
|}}
[[Archivo:{{{imageninferior}}}|{{#if:|{{{tamañoimageninferior}}}|220px}}]]{{#if:|
{{{pieinferior}}}}}
{{{piedetabla}}}

La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros <math> \mu,\sigma \,</math> y <math> \xi \,</math>.

La función de probabilidad acumulada es

<math>F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases}

1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\ 1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0. \end{cases} </math>

Para <math> x \geqslant \mu </math>, con <math> \xi \geqslant 0 \,</math>, y <math> x \leqslant \mu - \sigma /\xi </math> con <math> \xi < 0 \,</math> , donde <math>\mu\in\mathbb R</math> es el parámetro localización, <math>\sigma>0 \,</math> es el parámetro escala y <math>\xi\in\mathbb R</math> es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como <math> \kappa = - \xi \,</math>.

La función de densidad de probabilidad es:

<math>f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.</math>

o

<math>f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.</math>

de nuevo, para <math> x \geqslant \mu </math>, y <math> x \leqslant \mu - \sigma /\xi </math> si <math> \xi < 0 \,</math>

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

Citas

<references group=""></references>
  • Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
  • Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
  • Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Enlaces externos