Diferencia entre revisiones de «Distribución de Pareto»
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Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x . Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.
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{{#if:Pareto cumulative distribution functions for various α unciones de densidad de probabilidad para diferentes α con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x .|Pareto cumulative distribution functions for various α unciones de densidad de probabilidad para diferentes α con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x . Función de distribución de probabilidad}} | ||
Parámetros | | | }}
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Dominio | | | }} <math>x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!</math> | |
Función de probabilidad (fp) | | | }} | |
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Función de distribución (cdf) | | | }} | |
Media | | | }} | |
Mediana | | | }} | |
Moda | | | }} | |
Varianza | | | }} | |
Coeficiente de simetría | | | }} | |
Curtosis | | | }} | |
Entropía | | | }} | |
Función generadora de momentos (mgf) | | | }} | |
Función característica | | | }} | |
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\text{ for }x>x_m\!</math>|
cdf =<math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!</math>| mean =<math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,</math>| median =<math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>| mode =<math>x_\mathrm{m}\,</math>| variance =<math>\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,</math>| skewness =<math>\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,</math>| kurtosis =<math>\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,</math>| entropy =<math>\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!</math>| mgf =<math>\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,</math> | char = <math>\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,</math> | fisher = <math>\begin{pmatrix}\frac{\alpha}{x_m^2} & -\frac{1}{x_m} \\ -\frac{1}{x_m} & \frac{1}{\alpha^2}\end{pmatrix}</math> }}
En estadística la distribución Pareto, formulada por el sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía<ref>{{
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#if:| |}}.</ref>. En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).
Sumario
Probabilidad acumulada
Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:
- <math>Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\ 1 & \text{si } x < x_\mathrm{m}. \end{cases} </math>
donde xm es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, xm y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.
Función de densidad
A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:
- <math>
f_X(x)= \begin{cases}
\alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m}, \\[12pt] 0 & \text{si } x < x_\mathrm{m}.
\end{cases} </math>
Propiedades
- La media o valor esperado de una variable aleatoria X, que sigue una distribución de Pareto con parámetro α > 1 es
-
- <math>E(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,</math>
- (if α ≤ 1, the expected value does not exist).
- La varianza es
-
- <math>\mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.</math>
- (Si α ≤ 2, la varianza no existe).
- Los momentos son
-
- <math>\mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,</math>
- pero el n-ésimo momento existe sólo para n < α.
- La función generadora de momentos sólo está definida para valores no positivos de t ≤ 0 según:
-
- <math>M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = E(e^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,</math>
Caso degenerado
La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:
- <math>\lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \, </math>
Distribución simétrica
Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:<ref>{{
- if: {{#if: http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf%7C{{#if:Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|Error: no se ha especificado |título= al usar {{[[{{#switch:
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- <math>f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}
(\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1} & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\ 0 & \text{resto}. \end{cases} </math>
Distribución Generalizada de Pareto
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Parámetros | | | }}
<math>\mu \in (-\infty,\infty) \,</math> localización (real) | |
Dominio | | | }}
<math>x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)</math> | |
Función de probabilidad (fp) | | | }} | |
Función de densidad (pdf) | | | }}
<math>\frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)} </math> | |
Función de distribución (cdf) | | | }} <math>1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,</math> | |
Media | | | }} <math>\mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi < 1) </math> | |
Mediana | | | }} <math>\mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi} </math> | |
Moda | | | }} | |
Varianza | | | }} <math>\frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi < 1/2) </math> | |
Coeficiente de simetría | | | }} | |
Curtosis | | | }} | |
Entropía | | | }} | |
Función generadora de momentos (mgf) | | | }} | |
Función característica | | | }} | |
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[[Archivo:{{{imageninferior}}}|{{#if:|{{{tamañoimageninferior}}}|220px}}]]{{#if:| {{{pieinferior}}}}} | |||
{{{piedetabla}}} |
La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros <math> \mu,\sigma \,</math> y <math> \xi \,</math>.
La función de probabilidad acumulada es
- <math>F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases}
1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\ 1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0. \end{cases} </math>
Para <math> x \geqslant \mu </math>, con <math> \xi \geqslant 0 \,</math>, y <math> x \leqslant \mu - \sigma /\xi </math> con <math> \xi < 0 \,</math> , donde <math>\mu\in\mathbb R</math> es el parámetro localización, <math>\sigma>0 \,</math> es el parámetro escala y <math>\xi\in\mathbb R</math> es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como <math> \kappa = - \xi \,</math>.
La función de densidad de probabilidad es:
- <math>f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.</math>
o
- <math>f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.</math>
de nuevo, para <math> x \geqslant \mu </math>, y <math> x \leqslant \mu - \sigma /\xi </math> si <math> \xi < 0 \,</math>
Software
Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:
- Easy fit, "data analysis & simulation"
- MathWorks Benelux
- ModelRisk, "risk modelling software"
- Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
- Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
- StatSoft distribution fitting
- CumFreq [6] , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial
Citas
- Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
- Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
- Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.