Desviación estándar
La desviación estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
Sumario
Interpretación y aplicación
La desviación típica es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.
Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar muestrales son 7, 5 y 1 respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.
La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).
Desglose
La desviación estándar (DS/DE), también llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores concretos del promedio en una distribución. De hecho, específicamente, el cuadrado de la desviación estándar es "el promedio del cuadrado de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, <math>\sigma^{}_{}</math>.
La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.
Distribución de probabilidad continua
Es posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral
- <math>{\sigma}^2 = \int {(x - \mu)}^2 f(x) dx</math>
donde
- <math>\mu = \int {x} f(x) dx</math>
Distribución de probabilidad discreta
La Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de probabilidad discreta:
- <math>s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n
\left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2</math>
Cuando los casos tomados son iguales al total de la población se aplica la fórmula de desviación estándar poblacional. Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.
Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa el realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de <math>\displaystyle n</math>, se usa <math>\displaystyle n-1</math> según la corrección de Bessel. Esta ocurre cuando la media de muestra se utiliza para centrar los datos, en lugar de la media de la población. Puesto que la media de la muestra es una combinación lineal de los datos, el residual a la muestra media se extiende más allá del número de grados de libertad por el número de ecuaciones de restricción —en este caso una—. Dado esto a la muestra así obtenida de una muestra sin el total de la población se le aplica esta corrección con la fórmula desviación estándar muestral.
- <math>s^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n-1}</math>
Ejemplo
Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }
1. Calcular el promedio o media aritmética <math>\overline{x}</math>.
- <math>\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i</math>.
En este caso, N = 6:
- <math>x_1 = 4\,\!</math>
- <math>x_2 = 1\,\!</math>
- <math>x_3 = 11\,\!</math>
- <math>x_4 = 13\,\!</math>
- <math>x_5 = 2\,\!</math>
- <math>x_6 = 7\,\!</math>
- <math>\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 x_i</math> Sustituyendo N por 6
- <math>\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \right ) </math>
- <math>\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( 4 + 1 + 11 + 13 + 2 + 7 \right ) </math>
- <math>\overline{x}= 6,33</math>
2. Calcular la desviación estándar <math>\sigma\,\!</math>
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}</math>
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^6 (x_i - \overline{x})^2}</math> Sustituyendo N por 6;
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^6 (x_i - 6,33)^2}</math> Sustituyendo <math>\overline{x}</math> por 6,33
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left [ (4 - 6,33)^2 + (1 - 6,33)^2 + (11 - 6,33)^2 + (13 - 6,33)^2 +(2 - 6,33)^2 + (7 - 6,33)^2 \right ] }</math>
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left [ (-2,33)^2 + (-5,33)^2 + 4,67^2 + 6,67^2 + (-4,33)^2 + 0,67^2 \right ] }</math>
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left ( 5,43 + 28,4 + 21,8 + 44,5 + 18,7 + 0,449 \right ) }</math>
- <math>\sigma = \sqrt{\frac{119,28}{5}}</math>
- <math>\sigma = \sqrt{23,856}</math>
- <math>\sigma \approx 4,88\,\!</math>.
Véase también
Enlaces externos
- [1] Simulación de la desviación típica de una variable discreta con R (lenguaje de programación)
